文章目录前言贝塞尔曲线算法描述算法实现参考资料
前言
很多文章在谈及曲线平滑的时候，习惯使用拟合的概念，我认为这是不恰当的。平滑后的曲线，一定经过原始的数据点，而拟合曲线，则不一定要经过原始数据点。
一般而言，需要平滑的数据分为两种：时间序列的单值数据、时间序列的二维数据。对于前者，并非一定要用贝塞尔算法，仅用样条插值就可以轻松实现平滑；而对于后者，不管是numpy还是scipy提供的那些插值算法，就都不适用了。
本文基于三阶贝塞尔曲线，实现了时间序列的单值数据和时间序列的二维数据的平滑算法，可满足大多数的平滑需求。
贝塞尔曲线
关于贝塞尔曲线的数学原理，这里就不讨论了，直接贴出结论：
一阶贝塞尔曲线
二阶贝塞尔曲线
三阶贝塞尔曲线
算法描述
如果我们把三阶贝塞尔曲线的P0和P3视为原始数据，只要找到P1和P2两个点（我们称其为控制点），就可以根据三阶贝塞尔曲线公式，计算出P0和P3之间平滑曲线上的任意点。
现在，平滑问题变成了如何计算两个原始数据点之间的控制点的问题。步骤如下：
第1步：绿色直线连接相邻的原始数据点，计算出个线段的中点，红色直线连接相邻的中点
第2步：根据相邻两条绿色直线长度之比，分割其中点之间红色连线，标记分割点
第3步：平移红色连线，使其分割点与相对的原始数据点重合
第4步：调整平移后红色连线的端点与原始数据点的距离，通常缩减40%-80%
算法实现#-*-coding:utf-8-*-importnumpyasnpdefbezier_curve(p0,p1,p2,p3,inserted):"""三阶贝塞尔曲线p0,p1,p2,p3-点坐标，tuple、list或numpy.ndarray类型inserted-p0和p3之间插值的数量"""assertisinstance(p0,(tuple,list,np.ndarray)),u'点坐标不是期望的元组、列表或numpy数组类型'assertisinstance(p0,(tuple,list,np.ndarray)),u'点坐标不是期望的元组、列表或numpy数组类型'assertisinstance(p0,(tuple,list,np.ndarray)),u'点坐标不是期望的元组、列表或numpy数组类型'assertisinstance(p0,(tuple,list,np.ndarray)),u'点坐标不是期望的元组、列表或numpy数组类型'ifisinstance(p0,(tuple,list)):p0=np.array(p0)ifisinstance(p1,(tuple,list)):p1=np.array(p1)ifisinstance(p2,(tuple,list)):p2=np.array(p2)ifisinstance(p3,(tuple,list)):p3=np.array(p3)points=list()fortinnp.linspace(0,1,inserted+2):points.append(p0*np.power((1-t),3)+3*p1*t*np.power((1-t),2)+3*p2*(1-t)*np.power(t,2)+p3*np.power(t,3))returnnp.vstack(points)defsmoothing_base_bezier(date_x,date_y,k=0.5,inserted=10,closed=False):"""基于三阶贝塞尔曲线的数据平滑算法date_x-x维度数据集，list或numpy.ndarray类型date_y-y维度数据集，list或numpy.ndarray类型k-调整平滑曲线形状的因子，取值一般在0.2~0.6之间。默认值为0.5inserted-两个原始数据点之间插值的数量。默认值为10closed-曲线是否封闭，如是，则首尾相连。默认曲线不封闭"""assertisinstance(date_x,(list,np.ndarray)),u'x数据集不是期望的列表或numpy数组类型'assertisinstance(date_y,(list,np.ndarray)),u'y数据集不是期望的列表或numpy数组类型'ifisinstance(date_x,list)andisinstance(date_y,list):assertlen(date_x)==len(date_y),u'x数据集和y数据集长度不匹配'date_x=np.array(date_x)date_y=np.array(date_y)elifisinstance(date_x,np.ndarray)andisinstance(date_y,np.ndarray):assertdate_x.shape==date_y.shape,u'x数据集和y数据集长度不匹配'else:raiseException(u'x数据集或y数据集类型错误')#第1步：生成原始数据折线中点集mid_points=list()foriinrange(1,date_x.shape[0]):mid_points.append({'start':(date_x[i-1],date_y[i-1]),'end':(date_x[i],date_y[i]),'mid':((date_x[i]+date_x[i-1])/2.0,(date_y[i]+date_y[i-1])/2.0)})ifclosed:mid_points.append({'start':(date_x[-1],date_y[-1]),'end':(date_x[0],date_y[0]),'mid':((date_x[0]+date_x[-1])/2.0,(date_y[0]+date_y[-1])/2.0)})#第2步：找出中点连线及其分割点split_points=list()foriinrange(len(mid_points)):ifi<(len(mid_points)-1):j=i+1elifclosed:j=0else:continuex00,y00=mid_points[i]['start']x01,y01=mid_points[i]['end']x10,y10=mid_points[j]['start']x11,y11=mid_points[j]['end']d0=np.sqrt(np.power((x00-x01),2)+np.power((y00-y01),2))d1=np.sqrt(np.power((x10-x11),2)+np.power((y10-y11),2))k_split=1.0*d0/(d0+d1)mx0,my0=mid_points[i]['mid']mx1,my1=mid_points[j]['mid']split_points.append({'start':(mx0,my0),'end':(mx1,my1),'split':(mx0+(mx1-mx0)*k_split,my0+(my1-my0)*k_split)})#第3步：平移中点连线，调整端点，生成控制点crt_points=list()foriinrange(len(split_points)):vx,vy=mid_points[i]['end']#当前顶点的坐标dx=vx-split_points[i]['split'][0]#平移线段x偏移量dy=vy-split_points[i]['split'][1]#平移线段y偏移量sx,sy=split_points[i]['start'][0]+dx,split_points[i]['start'][1]+dy#平移后线段起点坐标ex,ey=split_points[i]['end'][0]+dx,split_points[i]['end'][1]+dy#平移后线段终点坐标cp0=sx+(vx-sx)*k,sy+(vy-sy)*k#控制点坐标cp1=ex+(vx-ex)*k,ey+(vy-ey)*k#控制点坐标ifcrt_points:crt_points[-1].insert(2,cp0)else:crt_points.append([mid_points[0]['start'],cp0,mid_points[0]['end']])ifclosed:ifi<(len(mid_points)-1):crt_points.append([mid_points[i+1]['start'],cp1,mid_points[i+1]['end']])else:crt_points[0].insert(1,cp1)else:ifi<(len(mid_points)-2):crt_points.append([mid_points[i+1]['start'],cp1,mid_points[i+1]['end']])else:crt_points.append([mid_points[i+1]['start'],cp1,mid_points[i+1]['end'],mid_points[i+1]['end']])crt_points[0].insert(1,mid_points[0]['start'])#第4步：应用贝塞尔曲线方程插值out=list()foritemincrt_points:group=bezier_curve(item[0],item[1],item[2],item[3],inserted)out.append(group[:-1])out.append(group[-1:])out=np.vstack(out)returnout.T[0],out.T[1]if__name__=='__main__':importmatplotlib.pyplotaspltx=np.array([2,4,4,3,2])y=np.array([2,2,4,3,4])plt.plot(x,y,'ro')x_curve,y_curve=smoothing_base_bezier(x,y,k=0.3,closed=True)plt.plot(x_curve,y_curve,label='$k=0.3$')x_curve,y_curve=smoothing_base_bezier(x,y,k=0.4,closed=True)plt.plot(x_curve,y_curve,label='$k=0.4$')x_curve,y_curve=smoothing_base_bezier(x,y,k=0.5,closed=True)plt.plot(x_curve,y_curve,label='$k=0.5$')x_curve,y_curve=smoothing_base_bezier(x,y,k=0.6,closed=True)plt.plot(x_curve,y_curve,label='$k=0.6$')plt.legend(loc='best')plt.show()
下图为平滑效果。左侧是封闭曲线，两个原始数据点之间插值数量为默认值10；右侧为同样数据不封闭的效果，k值默认0.5.
参考资料
算法参考了InterpolationwithBezierCurves这个网页，里面没有关于作者的任何信息，在此只能笼统地向国际友人表示感谢！
