文章目录1.前言2.三剑客之`Numpy`2.1数组对象2.1.1数据类型2.1.2创建数组2.1.3构造复杂数组2.1.3.1重复数组:tile2.1.3.2重复元素:repeat2.1.3.3一维数组网格化:meshgrid2.1.3.4指定范围和分割方式的网格化:mgrid2.1.4数组的属性2.1.5改变数组维度2.1.6索引和切片2.1.7数组合并2.1.8数组拆分2.1.9数组运算2.1.10数组方法和常用函数2.2矩阵对象2.2.1创建矩阵2.2.2矩阵的特有属性2.2.3矩阵乘法2.3线性代数模块2.3.1计算逆矩阵2.3.2计算行列式2.3.3计算特征值和特征向量2.3.4求解线性方程组3.三剑客之`Matplotlib`3.1pylot介绍3.1.1中文显示问题的解决方案3.1.2绘制最简单的图形3.1.3设置标题、坐标轴名称、坐标轴范围3.1.4设置点和线的样式、宽度、颜色3.1.5文本标注和图例3.2绘制多轴图3.3常用绘图类型3.3.1直方图3.3.2散点图3.3.3梯形图、柱状图、填充图3.3.4对数坐标3.3.5极坐标绘图3.42D绘图3.4.1等值线图3.4.2二维数据的平面色彩显示3.53D绘图4.三剑客之`Scipy`4.1插值4.1.1一维插值4.1.2二维插值4.2拟合4.2.1使用numpy.polyfit拟合4.2.2使用scipy.optimize.optimize.curve_fit拟合4.3求解非线性方程（组）4.4数值积分4.4.1经典微分法4.4.2使用定积分求解函数4.5图像处理5.后记
1.前言
不管是不是巴萨的球迷，只要你喜欢足球，就一定听说过梅西(Messi)、苏亚雷斯(Suarez)和内马尔(Neymar)这个MSN组合。在众多的数学建模辅助工具中，也有一个犀利无比的MSN组合，他们就是python麾下大名鼎鼎的Matplotlib+Scipy+Numpy三剑客。
本文是我整理的MSN学习笔记，有些理解可能比较肤浅，甚至是错误的。如果因此误导了某位看官，在工作中造成重大失误或损失，我顶多只能赔偿一顿饭——还得是我们楼下的十元盒饭。特此声明。
文中代码均从我的这台时不时出点问题、闹个情绪的Yoga3pro上复制而来，这意味着所有的代码均可在下面的运行环境中顺利运行：
pyhton2.7.8numpy1.11.1scipy0.16.1matplotlib1.5.12.三剑客之Numpy
numpy是一个开源的python科学计算库，包含了很多实用的数学函数，涵盖线性代数、傅里叶变换和随机数生成等功能。最初的numpy其实是scipy的一部分，后来才从scipy中分离出来。
numpy不是python的标准库，需要单独安装。假定你的运行环境已经安装了python包管理工具pip，numpy的安装就非常简单：
pipinstallnumpy2.1数组对象
ndarray是多维数组对象，也是numpy最核心的对象。在numpy中，数组的维度(dimensions)叫做轴(axes)，轴的个数叫做秩(rank)。通常，一个numpy数组的所有元素都是同一种类型的数据，而这些数据的存储和数组的形式无关。
下面的例子，创建了一个三维的数组（在导入numpy时，一般都简写成np）。
importnumpyasnpa=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])2.1.1数据类型
numpy支持的数据类型主要有布尔型(bool)、整型(integrate)、浮点型(float)和复数型(complex)，每一种数据类型根据占用内存的字节数又分为多个不同的子类型。常见的数据类型见下表。
类型描述bool用1位存储的布尔类型（值为TRUE或FALSE）inti由所在平台决定其精度的整数（一般为int32或int64）int81字节整数int162字节整数int324字节整数int648字节整数uint81字节无符号整数uint162字节无符号整数uint324字节无符号整数uint648字节无符号整数float16半精度浮点数（16位），1位符号，5位指数，10位尾数float32单精度浮点数（32位），1位符号，8位指数，23位尾数float64/float双精度浮点数（64位），1位符号，11位指数，52位尾数complex64复数，分别用32位表示实部和虚部complex128/complex复数，分别用64位表示实部和虚部2.1.2创建数组
通常，我们用np.array()创建数组。如果仅仅是创建一维数组，也可以使用np.arange()或者np.linspace()的方法。np.zeros()、np.ones()、np.eye()则可以构造特殊的数据。np.random.randint()和np.random.random()则可以构造随机数数组。
>>>np.array([[1,2,3],[4,5,6]])#默认元素类型为int32array([[1,2,3],[4,5,6]])>>>np.array([[1,2,3],[4,5,6]],dtype=np.int8)#指定元素类型为int8array([[1,2,3],[4,5,6]],dtype=int8)>>>np.arange(5)#默认元素类型为int32array([0,1,2,3,4])>>>np.arange(3,8,dtype=np.int8)#指定元素类型为int8array([3,4,5,6,7],dtype=int8)>>>np.arange(12).reshape(3,4)#改变shapearray([[0,1,2,3],[4,5,6,7],[8,9,10,11]])>>>np.linspace(1,2,5)#从1到2生成5个浮点数array([1.,1.25,1.5,1.75,2.])>>>np.zeros((2,3))#全0数组array([[0.,0.,0.],[0.,0.,0.]])>>>np.ones((2,3))#全1数组array([[1.,1.,1.],[1.,1.,1.]])>>>np.eye(3)#主对角线元素为1其他元素为0array([[1.,0.,0.],[0.,1.,0.],[0.,0.,1.]])>>>np.random.random((2,3))#生成[0,1)之间的随机浮点数array([[0.84731148,0.8222318,0.85799278],[0.59371558,0.92330741,0.04518351]])>>>np.random.randint(0,10,(3,2))#生成[0,10)之间的随机整数array([[2,4],[8,3],[8,5]])2.1.3构造复杂数组
很多时候，我们需要从简单的数据结构，构造出复杂的数组。例如，用一维的数据生成二维格点。
2.1.3.1重复数组:tile>>>a=np.arange(5)>>>aarray([0,1,2,3,4])>>>np.tile(a,2)array([0,1,2,3,4,0,1,2,3,4])>>>np.tile(a,(3,2))array([[0,1,2,3,4,0,1,2,3,4],[0,1,2,3,4,0,1,2,3,4],[0,1,2,3,4,0,1,2,3,4]])2.1.3.2重复元素:repeat>>>a=np.arange(5)>>>aarray([0,1,2,3,4])>>>a.repeat(2)array([0,0,1,1,2,2,3,3,4,4])2.1.3.3一维数组网格化:meshgrid>>>a=np.arange(5)>>>b=np.arange(5,10)>>>np.meshgrid(a,b)[array([[0,1,2,3,4],[0,1,2,3,4],[0,1,2,3,4],[0,1,2,3,4],[0,1,2,3,4]]),array([[5,5,5,5,5],[6,6,6,6,6],[7,7,7,7,7],[8,8,8,8,8],[9,9,9,9,9]])]>>>2.1.3.4指定范围和分割方式的网格化:mgrid>>>np.mgrid[0:1:2j,1:2:3j]array([[[0.,0.,0.],[1.,1.,1.]],[[1.,1.5,2.],[1.,1.5,2.]]])>>>np.mgrid[0:1:0.3,1:2:0.4]array([[[0.,0.,0.],[0.3,0.3,0.3],[0.6,0.6,0.6],[0.9,0.9,0.9]],[[1.,1.4,1.8],[1.,1.4,1.8],[1.,1.4,1.8],[1.,1.4,1.8]]])
上面的例子中用到了虚数。构造虚数的方法如下：
>>>complex(2,5)(2+5j)2.1.4数组的属性
numpy的数组对象除了一些常规的属性外，也有几个类似转置、扁平迭代器等看起来更像是方法的属性。扁平迭代器也许是遍历多维数组的一个简明方法，下面的代码给出了一个例子。
>>>a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])>>>a.dtype#数组元素的数据类型dtype('int32')>>>a.dtype.itemsize#数组元素占据的内存字节数4>>>a.itemsize#数组元素占据的内存字节数4>>>a.shape#数组的维度(2,3)>>>a.size#数组元素个数6>>>a.T#数组行变列，类似于transpose()array([[1,4],[2,5],[3,6]])>>>a.flat#返回一个扁平迭代器，用于遍历多维数组<numpy.flatiterobjectat0x037188F0>>>>foritemina.flat:printitem12...2.1.5改变数组维度
numpy数组的存储顺序和数组的维度是不相干的，因此改变数组的维度是非常便捷的操作，除resize()外，这一类操作不会改变所操作的数组本身的存储顺序。
>>>a=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])>>>a.shape#查看数组维度(2,3)>>>a.reshape(3,2)#返回3行2列的数组array([[1,2],[3,4],[5,6]])>>>a.ravel()#返回一维数组array([1,2,3,4,5,6])>>>a.transpose()#行变列（类似于矩阵转置）array([[1,4],[2,5],[3,6]])>>>a.resize((3,2))#类似于reshape，但会改变所操作的数组>>>aarray([[1,2],[3,4],[5,6]])2.1.6索引和切片
对于一维数组的索引和切片，numpy和python的list一样，甚至更灵活。
a=np.arange(9)>>>a[-1]#最后一个元素8>>>a[2:5]#返回第2到第5个元素array([2,3,4])>>>a[:7:3]#返回第0到第7个元素，步长为3array([0,3,6])>>>a[::-1]#返回逆序的数组array([8,7,6,5,4,3,2,1,0])
假设有一栋2层楼，每层楼内的房间都是3排4列，那我们可以用一个三维数组来保存每个房间的居住人数（当然，也可以是房间面积等其他数值信息）。
>>>a=np.arange(24).reshape(2,3,4)#2层3排4列>>>aarray([[[0,1,2,3],[4,5,6,7],[8,9,10,11]],[[12,13,14,15],[16,17,18,19],[20,21,22,23]]])>>>a[1][2][3]#虽然可以这样23>>>a[1,2,3]#但这才是规范的用法23>>>a[:,0,0]#所有楼层的第1排第1列array([0,12])>>>a[0,:,:]#1楼的所有房间，等价与a[0]或a[0,...]array([[0,1,2,3],[4,5,6,7],[8,9,10,11]])>>>a[:,:,1:3]#所有楼层所有排的第2到4列array([[[1,2],[5,6],[9,10]],[[13,14],[17,18],[21,22]]])>>>a[1,:,-1]#2层每一排的最后一个房间array([15,19,23])2.1.7数组合并
数组合并除了下面介绍的水平合并、垂直合并、深度合并外，还有行合并、列合并，以及concatenate()等方式。假如你比我还懒，那就只了解前三种方法吧，足够用了。
>>>a=np.arange(9).reshape(3,3)>>>b=np.arange(9,18).reshape(3,3)>>>aarray([[0,1,2],[3,4,5],[6,7,8]])>>>barray([[9,10,11],[12,13,14],[15,16,17]])>>>np.hstack((a,b))#水平合并array([[0,1,2,9,10,11],[3,4,5,12,13,14],[6,7,8,15,16,17]])>>>np.vstack((a,b))#垂直合并array([[0,1,2],[3,4,5],[6,7,8],[9,10,11],[12,13,14],[15,16,17]])>>>np.dstack((a,b))#深度合并array([[[0,9],[1,10],[2,11]],[[3,12],[4,13],[5,14]],[[6,15],[7,16],[8,17]]])2.1.8数组拆分
拆分是合并的逆过程，概念是一样的，但稍微有一点不同：
>>>a=np.arange(9).reshape(3,3)>>>np.hsplit(a,3)#水平拆分，返回list[array([[0],[3],[6]]),array([[1],[4],[7]]),array([[2],[5],[8]])]>>>np.vsplit(a,3)#垂直拆分，返回list[array([[0,1,2]]),array([[3,4,5]]),array([[6,7,8]])]>>>a=np.arange(27).reshape(3,3,3)>>>np.dsplit(a,3)#深度拆分，返回list[array([[[0],[3],[6]],[[9],[12],[15]],[[18],[21],[24]]]),array([[[1],[4],[7]],[[10],[13],[16]],[[19],[22],[25]]]),array([[[2],[5],[8]],[[11],[14],[17]],[[20],[23],[26]]])]2.1.9数组运算
数组和常数的四则运算，是数组的每一个元素分别和常数运算；数组和数组的四则运算则是两个数组对应元素的运算（两个数组有相同的shape，否则抛出异常）。
>>>a=np.arange(4,dtype=np.float32).reshape(2,2)>>>b=np.arange(4,8,dtype=np.float32).reshape(2,2)>>>a+2#数组和常数可以进行四则运算array([[2.,3.],[4.,5.]],dtype=float32)>>>a/b#数组和数组可以进行四则运算array([[0.,0.2],[0.33333334,0.42857143]],dtype=float32)>>>a==b#最神奇的是，数组可以判断对应元素是否相等array([[False,False],[False,False]],dtype=bool)>>>(a==b).all()#判断数组是否相等False
特别提示：如果想对数组内符合特定条件的元素做特殊处理，下面的代码也许有用。
>>>a=np.arange(6).reshape((2,3))>>>aarray([[0,1,2],[3,4,5]])>>>(a>2)&(a<=4)array([[False,False,False],[True,True,False]],dtype=bool)>>>a[(a>2)&(a<=4)]array([3,4])>>>a[(a>2)&((a<=4))]+=10>>>aarray([[0,1,2],[13,14,5]])2.1.10数组方法和常用函数
数组对象本身提供了计算算数平均值、求最大最小值等内置方法，numpy也提供了很多实用的函数。为了缩减篇幅，下面的代码仅以一维数组为例，展示了这些方法和函数用法。事实上，大多数情况下这些方法和函数对于多维数组同样有效，只有少数例外，比如compress函数。
>>>a=np.array([3,2,4])>>>a.sum()#所有元素的和9>>>a.prod()#所有元素的乘积24>>>a.mean()#所有元素的算数平均值3.0>>>a.max()#所有元素的最大值4>>>a.min()#所有元素的最小值2>>>a.clip(3,4)#小于3的元素替换为3，大于4的元素替换为4array([3,3,4])>>>a.compress(a>2)#返回大于2的元素组成的数组array([3,4])>>>a.tolist()#返回python的list[3,2,4]>>>a.var()#计算方差（元素与均值之差的平方的均值）0.66666666666666663>>>a.std()#计算标准差（方差的算术平方根）0.81649658092772603>>>a.ptp()#返回数组的最大值和最小值之差2>>>a.argmin()#返回最小值在扁平数组中的索引1>>>a.argmax()#返回最大值在扁平数组中的索引2>>>np.where(a==2)#返回所有值为2的元素的索引(array([1]),)>>>np.diff(a)#返回相邻元素的差array([-1,2])>>>np.log(a)#返回对数数组array([1.09861229,0.69314718,1.38629436])>>>np.exp(a)#返回指数数组array([20.08553692,7.3890561,54.59815003])>>>np.sqrt(a)#返回开方数组array([1.73205081,1.41421356,2.])>>>np.msort(a)#数组排序array([2,3,4])>>>a=np.array([1,4,7])>>>b=np.array([8,5,2])>>>np.maximum(a,b)#返回多个数组中对应位置元素的最大值数组array([8,5,7])>>>np.minimum(a,b)#返回多个数组中对应位置元素的最小值数组array([1,4,2])>>>np.true_divide(a,b)#对整数实现真正的数学除法运算array([0.125,0.8,3.5])2.2矩阵对象
matrix是矩阵对象，继承自ndarray类型，因此含有ndarray的所有数据属性和方法。不过，当你把矩阵对象当数组操作时，需要注意以下几点：
matrix对象总是二维的，即使是展平（ravel函数）操作或是成员选择，返回值也是二维的matrix对象和ndarray对象混合的运算总是返回matrix对象2.2.1创建矩阵
matrix对象可以使用一个Matlab风格的字符串来创建（以空格分隔列，以分号分隔行的字符串），也可以用数组来创建。
>>>np.mat('147;258;369')matrix([[1,4,7],[2,5,8],[3,6,9]])>>>np.mat(np.arange(1,10).reshape(3,3))matrix([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])2.2.2矩阵的特有属性
矩阵有几个特有的属性使得计算更加容易，这些属性有：
>>>m=np.mat(np.arange(1,10).reshape(3,3))>>>mmatrix([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])>>>m.T#返回自身的转置matrix([[1,4,7],[2,5,8],[3,6,9]])>>>m.H#返回自身的共轭转置matrix([[1,4,7],[2,5,8],[3,6,9]])>>>m.I#返回自身的逆矩阵matrix([[-4.50359963e+15,9.00719925e+15,-4.50359963e+15],[9.00719925e+15,-1.80143985e+16,9.00719925e+15],[-4.50359963e+15,9.00719925e+15,-4.50359963e+15]])>>>m.A#返回自身数据的二维数组的一个视图array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])2.2.3矩阵乘法
对ndarray对象而言，星号是按元素相乘，dot()函数则当作矩阵相乘。对于matrix对象来说，星号和dot()函数都是矩阵相乘。特别的，对于一维数组，dot()函数实现的是向量点乘（结果是标量），但星号实现的却不是差乘。
>>>a=np.array([1,2,3])>>>b=np.array([4,5,6])>>>a*b#一维数组，元素相乘array([4,10,18])>>>np.dot(a,b)#一维数组，元素相乘再求和32>>>a=np.array([[1,2],[3,4]])>>>b=np.array([[5,6],[7,8]])>>>a*b#多维数组，元素相乘array([[5,12],[21,32]])>>>np.dot(a,b)#多维数组，实现的是矩阵相乘array([[19,22],[43,50]])>>>m=np.mat(a)>>>n=np.mat(b)>>>np.dot(m,n)#矩阵相乘matrix([[19,22],[43,50]])>>>m*n#矩阵相乘matrix([[19,22],[43,50]])2.3线性代数模块
numpy.linalg是numpy的线性代数模块，可以用来解决逆矩阵、特征值、线性方程组以及行列式等问题。
2.3.1计算逆矩阵
尽管matrix对象本身有逆矩阵的属性，但用numpy.linalg模块求解矩阵的逆，也是非常简单的。
m=np.mat('012;103;4-38')mi=np.linalg.inv(m)#mi即为m的逆矩阵。何以证明？m*mi#矩阵与其逆矩阵相乘，结果为单位矩阵matrix([[1.,0.,0.],[0.,1.,0.],[0.,0.,1.]])2.3.2计算行列式
如何计算行列式，我早已经不记得了，但手工计算行列式的痛苦，我依然记忆犹新。现在好了，你在手机上都可以用numpy轻松搞定（前提是你的手机上安装了python+numpy）。
m=np.mat('012;103;4-38')np.linalg.det(m)#什么？这就成了？2.02.3.3计算特征值和特征向量
截至目前，我的工作和特征值、特征向量还有没任何关联。记录这一节，纯粹是为了我女儿，她正在读数学专业。
m=np.mat('012;103;4-38')>>>np.linalg.eigvals(m)#计算特征值array([7.96850246,-0.48548592,0.51698346])>>>np.linalg.eig(m)#返回特征值及其对应特征向量的元组(array([7.96850246,-0.48548592,0.51698346]),matrix([[0.26955165,0.90772191,-0.74373492],[0.36874217,0.24316331,-0.65468206],[0.88959042,-0.34192476,0.13509171]]))2.3.4求解线性方程组
有线性方程组如下：
x-2y+z=02y-8z=8-4x+5y+9z=-9
求解过程如下：
>>>A=np.mat('1-21;02-8;-459')>>>b=np.array([0,8,-9])>>>np.linalg.solve(A,b)array([29.,16.,3.])#x=29,y=16,z=33.三剑客之Matplotlib
matplotlib是python最著名的绘图库，它提供了一整套和Matlab相似的命令API，十分适合交互式地进行制图。而且也可以方便地将它作为绘图控件，嵌入GUI应用程序中。matplotlib可以绘制多种形式的图形包括普通的线图，直方图，饼图，散点图以及误差线图等；可以比较方便的定制图形的各种属性比如图线的类型，颜色，粗细，字体的大小等；它能够很好地支持一部分TeX排版命令，可以比较美观地显示图形中的数学公式。
3.1pylot介绍
Matplotlib包含了几十个不同的模块，如matlab、mathtext、finance、dates等，而pylot则是我们最常用的绘图模块，这也是本文介绍的重点。
3.1.1中文显示问题的解决方案
有很多方法可以解决此问题，但下面的方法恐怕是最简单的解决方案了（我只在windows平台上测试过，其他平台请看官自测）。如果想了解更多，也可以参考我N年前的一片博文：matplotlib显示中文的解决方案
>>>importmatplotlib.pyplotasplt>>>plt.rcParams['font.sans-serif']=['FangSong']#指定默认字体>>>plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False#解决保存图像时'-'显示为方块的问题3.1.2绘制最简单的图形>>>importnumpyasnp>>>importmatplotlib.pyplotasplt>>>x=np.arange(0,2*np.pi,0.01)>>>y=np.sin(x)>>>plt.plot(x,y)>>>plt.show()
3.1.3设置标题、坐标轴名称、坐标轴范围
如果你在python的shell中运行下面的代码，而shell的默认编码又不是utf-8的话，中文可能仍然会显示为乱码。你可以尝试着把u’正弦曲线’写成‘正弦曲线’.decode(‘gbk’)或者’正弦曲线’.decode(‘utf-8’)
>>>importnumpyasnp>>>importmatplotlib.pyplotasplt>>>frompylabimportmpl>>>mpl.rcParams['font.sans-serif']=['FangSong']>>>mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False>>>x=np.arange(0,2*np.pi,0.01)>>>y=np.sin(x)>>>plt.plot(x,y)>>>plt.title(u'正弦曲线',fontdict={'size':20})#设置标题>>>plt.xlabel(u'弧度',fontdict={'size':16})#显示横轴名称>>>plt.ylabel(u'正弦值',fontdict={'size':16})#显示纵轴名称>>>plt.axis([-0.1*np.pi,2.1*np.pi,-1.1,1.1])#设置坐标轴范围>>>plt.axis('equal')#xy轴等比例保持>>>plt.show()
3.1.4设置点和线的样式、宽度、颜色
plt.plot函数的调用形式如下：
plot(x,y,color='green',linestyle='dashed',linewidth=1,marker='o',markerfacecolor='blue',markersize=6)plot(x,y,c='g',ls='--',lw=1,marker='o',mfc='blue',ms=6)color指定线的颜色，可简写为“c”。颜色的选项为：蓝色：‘b’(blue)绿色：‘g’(green)红色：‘r’(red)墨绿：‘c’(cyan)洋红：‘m’(magenta)黄色：‘y’(yellow)黑色：‘k’(black)白色：‘w’(white)灰度表示：e.g.0.75([0,1]内任意浮点数)RGB表示法：e.g.‘#2F4F4F’或(0.18,0.31,0.31)linestyle指定线型，可简写为“ls”。线型的选项为：实线：‘-’(solidline)虚线：‘–’(dashedline)虚点线：‘-.’(dash-dotline)点线：‘:’(dottedline)无：'‘或’‘或’None’
linewidth指定线宽，可简写为“lw”。
marker描述数据点的形状
点线：‘.’点线：‘o’加号：'+叉号：‘x’上三角：‘^’上三角：‘v’
markerfacecolor指定数据点标记的表面颜色，可简写为“mfc”。
markersize指定数据点标记的大小，可简写为“ms”。
3.1.5文本标注和图例
我们分别使用不同的线型、颜色来绘制以10、e、2为基的一组幂函数曲线，演示文本标注和图例的使用。
>>>importnumpyasnp>>>importmatplotlib.pyplotasplt>>>frompylabimportmpl>>>mpl.rcParams['font.sans-serif']=['FangSong']>>>mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False>>>x=np.linspace(-4,4,200)>>>f1=np.power(10,x)>>>f2=np.power(np.e,x)>>>f3=np.power(2,x)>>>plt.plot(x,f1,'r',ls='-',linewidth=2,label='$10^x$')>>>plt.plot(x,f2,'b',ls='--',linewidth=2,label='$e^x$')>>>plt.plot(x,f3,'g',ls=':',linewidth=2,label='$2^x$')>>>plt.axis([-4,4,-0.5,8])>>>plt.text(1,7.5,r'$10^x$',fontsize=16)>>>plt.text(2.2,7.5,r'$e^x$',fontsize=16)>>>plt.text(3.2,7.5,r'$2^x$',fontsize=16)>>>plt.title('幂函数曲线',fontsize=16)>>>plt.legend(loc='upperleft')>>>plt.show()
在绘制图例时，loc用于指定图例的位置，可用的选项有：
bestupperrightupperleftlowerleftlowerright3.2绘制多轴图
在介绍如何将多幅子图绘制在同一画板的同时，顺便演示如何绘制直线和矩形。我们可以使用subplot函数快速绘制有多个轴的图表。subplot函数的调用形式如下：
subplot(numRows,numCols,plotNum)
subplot将整个绘图区域等分为numRows行*numCols列个子区域，然后按照从左到右，从上到下的顺序对每个子区域进行编号，左上的子区域的编号为1。如果numRows，numCols和plotNum这三个数都小于10的话，可以把它们缩写为一个整数，例如subplot(323)和subplot(3,2,3)是相同的。subplot在plotNum指定的区域中创建一个轴对象。如果新创建的轴和之前创建的轴重叠的话，之前的轴将被删除。
>>>importmatplotlib.pyplotasplt>>>plt.subplot(221)#两行两列的第1个位置>>>plt.axis([-1,2,-1,2])>>>plt.axhline(y=0.5,color='b')>>>plt.axhline(y=0.5,xmin=0.25,xmax=0.75,color='r')>>>plt.subplot(222)#两行两列的第2个位置>>>plt.axis([-1,2,-1,2])>>>plt.axvline(x=0,ymin=0,linewidth=4,color='r')>>>plt.axvline(x=1.0,ymin=-0.5,ymax=0.5,linewidth=4,color='g')>>>plt.subplot(212)#两行一列的第2个位置>>>plt.axis([-1,2,-1,2])>>>plt.axvspan(1.25,1.55,facecolor='g',alpha=0.5)>>>plt.axhspan(0.25,0.75,facecolor='0.5',alpha=0.5)>>>plt.show()
3.3常用绘图类型3.3.1直方图
用numpy随机生成一个符合正态分布的数据集，统计分段区域内数据的个数。
>>>importnumpyasnp>>>importmatplotlib.pyplotasplt>>>data=np.random.normal(5.0,3.0,1000)>>>plt.hist(data)>>>bins=np.arange(-5,16,1)>>>plt.hist(data,bins)#使用自定义的分段区域>>>plt.show()
3.3.2散点图
使用plot()绘图时，如果指定样式参数为仅绘制数据点（linestyle=‘None’），那么所绘制的就是一幅散列图。这种方法所绘制的点无法单独指定数据点的颜色和大小，而使用scatter()绘制散列图就可以指定每个点的颜色和大小。
plt.scatter函数的调用形式如下：
scatter(x,y,s=None,c=None,marker=None,cmap=None,norm=None,vmin=None,vmax=None,alpha=None,linewidths=None,verts=None,edgecolors=None,hold=None,data=None,**kwargs)
scatter()的前两个参数是数组，分别指定每个点的X轴和Y轴的坐标。s参数指定点的大小，值和点的面积成正比，它可以是一个数，指定所有点的大小，也可以是数组，分别对每个点指定大小。c参数指定每个点的颜色，可以是数值或数组。这里使用一维数组为每个点指定了一个数值。通过颜色映射表，每个数值都会与一个颜色相对应。默认的颜色映射表中蓝色与最小值对应，红色与最大值对应。当c参数是形状为(N,3)或(N,4)的二维数组时，则直接表示每个点的RGB颜色。marker参数设置点的形状，可以是个表示形状的字符串，也可以是表示多边形的两个元素的元组，第一个元素表示多边形的边数，第二个元素表示多边形的样式，取值范围为0、1、2、3。0表示多边形，1表示星形，2表示放射形，3表示忽略边数而显示为圆形。alpha参数设置点的透明度。facecolors参数为“none”时，表示散列点没有填充色。
>>>importnumpyasnp>>>importmatplotlib.pyplotasplt>>>x=np.random.rand(50)>>>y=np.random.rand(50)>>>area=np.pi*(15*np.random.rand(50))**2>>>color=2*np.pi*np.random.rand(50)>>>plt.scatter(x,y,s=area,c=color,alpha=0.5,cmap=plt.cm.hsv)>>>plt.show()
3.3.3梯形图、柱状图、填充图>>>importnumpyasnp>>>importmatplotlib.pyplotasplt>>>n=np.array([0,1,2,3,4,5])>>>x=np.linspace(-0.75,1.,100)>>>plt.subplot(131)>>>plt.step(n,n**2,lw=2)>>>plt.subplot(132)>>>plt.bar(n,n**2,align="center",width=0.5,alpha=0.5)>>>plt.subplot(133)>>>plt.fill_between(x,x**2,x**3,color="green",alpha=0.5)>>>plt.show()
3.3.4对数坐标
plot()所绘制图表的X-Y轴坐标都是算术坐标。绘制对数坐标图的函数有三个：semilogx()、semilogy()和loglog(),它们分别绘制X轴为对数坐标、Y轴为对数坐标以及两个轴都为对数坐标时的图表。
>>>importnumpyasnp>>>importmatplotlib.pyplotasplt>>>x=np.linspace(0,3,100)>>>y=np.power(2,np.power(2,x))>>>plt.subplot(121)>>>plt.semilogy(x,y,'-r')>>>plt.subplot(122)>>>plt.plot(x,y,'--g')>>>plt.show()
3.3.5极坐标绘图
极坐标系是和笛卡尔(X-Y)坐标系完全不同的坐标系，极坐标系中的点由一个夹角和一段相对中心点的距离来表示。polar(theta,r,**kwargs)可以直接创建极坐标子图并在其中绘制曲线。也可以使用程序中调用subplot()创建子图时通过设polar参数为True,创建一个极坐标子图，然后调用plot()在极坐标子图中绘图。
>>>importnumpyasnp>>>importmatplotlib.pyplotasplt>>>theta=np.arange(0,2*np.pi,0.02)>>>plt.polar(theta,1.4*np.cos(5*theta),"--",linewidth=2)>>>plt.polar(theta,1.8*np.cos(4*theta),linewidth=2)>>>plt.rgrids(np.arange(0.5,2,0.5),angle=45)>>>plt.thetagrids([0,45])thetagridlabelobjects>)>>>plt.show()>>>
3.42D绘图3.4.1等值线图
所谓等值线，是指由函数值相等的各点连成的平滑曲线。等值线可以直观地表示二元函数值的变化趋势，例如等值线密集的地方表示函数值在此处的变化较大。matplotlib中可以使用contour()和contourf()描绘等值线，它们的区别是：contourf()所得到的是带填充效果的等值线。
>>>importnumpyasnp>>>importmatplotlib.pyplotasplt>>>y,x=np.ogrid[-2:2:200j,-3:3:300j]>>>z=x*np.exp(-x**2-y**2)>>>extent=[np.min(x),np.max(x),np.min(y),np.max(y)]>>>plt.subplot(121)>>>cs=plt.contour(z,10,extent=extent)>>>plt.clabel(cs)<alistof8text.Textobjects>>>>plt.subplot(122)>>>plt.contourf(x.reshape(-1),y.reshape(-1),z,20)>>>plt.show()
为了更淸楚地区分X轴和Y轴，这里让它们的取值范围和等分次数均不相同.这样得到的数组z的形状为(200,300),它的第0轴对应Y轴、第1轴对应X轴。
调用contour()绘制数组z的等值线图，第二个参数为10,表示将整个函数的取值范围等分为10个区间,即显示的等值线图中将有9条等值线。可以使用extent参数指定等值线图的X轴和Y轴的数据范围。
contour()所返回的是一个QuadContourSet对象，将它传递给clabel()，为其中的等值线标上对应的值。
调用contourf(),绘制将取值范围等分为20份、带填充效果的等值线图。这里演示了另外一种设置X、Y轴取值范围的方法，它的前两个参数分别是计算数组z时所使用的X轴和Y轴上的取样点,这两个数组必须是一维的。
3.4.2二维数据的平面色彩显示>>>importnumpyasnp>>>importmatplotlib.pyplotasplt>>>data=np.clip(np.random.randn(5,5),-1,1)>>>plt.subplot(221)>>>plt.imshow(data)>>>plt.subplot(222)>>>plt.imshow(data,cmap=plt.cm.cool)>>>plt.subplot(223)>>>plt.imshow(data,cmap=plt.cm.hot)>>>plt.colorbar()>>>plt.subplot(224)>>>im=plt.imshow(data,cmap=plt.cm.winter)>>>plt.colorbar(im,cmap=plt.cm.winter,ticks=[-1,0,1])>>>plt.show()
3.53D绘图
虽然matplotlib主要专注于绘图，并且主要是二维的图形，但是它也有一些不同的扩展，能让我们在地理图上绘图，让我们把Excel和3D图表结合起来。在matplotlib的世界里，这些扩展叫做工具包（toolkits）。工具包是一些关注在某个话题（如3D绘图）的特定函数的集合。
比较流行的工具包有Basemap、GTK工具、Excel工具、Natgrid、AxesGrid和mplot3d。
mpl_toolkits.mplot3工具包提供了一些基本的3D绘图功能，其支持的图表类型包括散点图（scatter）、曲面图（surf）、线图（line）和网格图（mesh）。虽然mplot3d不是一个最好的3D图形绘制库，但是它是伴随着matplotlib产生的，因此我们对其接口已经很熟悉了。
下面是一个使用plot_surface绘制3d曲面图的例子。
>>>importnumpyasnp>>>importmatplotlib.pyplotasplt>>>importmpl_toolkits.mplot3d>>>x,y=np.mgrid[-2:2:50j,-2:2:50j]>>>z=x*np.exp(-x**2-y**2)>>>ax=plt.subplot(111,projection='3d')>>>ax.plot_surface(x,y,z,rstride=2,cstride=1,cmap=plt.cm.coolwarm,alpha=0.8)>>>ax.set_xlabel('x')>>>ax.set_ylabel('y')>>>ax.set_zlabel('z')>>>plt.show()
4.三剑客之Scipy
前面已经说过，最初的numpy其实是scipy的一部分，后来才从scipy中分离出来。scipy函数库在numpy库的基础上增加了众多的数学、科学以及工程计算中常用的库函数。例如线性代数、常微分方程数值求解、信号处理、图像处理、稀疏矩阵等等。由于其涉及的领域众多，我之于scipy，就像盲人摸大象，只能是摸到哪儿算哪儿。
4.1插值
数据插值是数据处理过程中经常用到的技术，常用的插值有一维插值、二维插值、高阶插值等，常见的算法有线性插值、B样条插值、临近插值等。
4.1.1一维插值
一维插值最常用的算法是线型插值和三阶样条插值，此外还有前点插值、后点插值、临近点插值、零阶插值（等同于前点插值）、一阶插值（等同于线性插值）、五阶插值等。下面的例子对以上8中插值方法进行了比较。
importnumpyasnpfromscipyimportinterpolateimportmatplotlib.pyplotaspltplt.rcParams['font.sans-serif']=['FangSong']plt.rcParams['axes.unicode_minus']=Falsex=np.linspace(0,10,11)y=np.exp(-x/3.0)x_new=np.linspace(0,10,100)#期望在0-10之间变成100个数据点f1=interpolate.interp1d(x,y,kind='linear')f2=interpolate.interp1d(x,y,kind='nearest')f3=interpolate.interp1d(x,y,kind='zero')f4=interpolate.interp1d(x,y,kind='slinear')f5=interpolate.interp1d(x,y,kind='cubic')f6=interpolate.interp1d(x,y,kind='quadratic')f7=interpolate.interp1d(x,y,kind='previous')f8=interpolate.interp1d(x,y,kind='next')plt.figure('Demo',facecolor='#eaeaea')plt.subplot(221)plt.plot(x,y,"o",label=u"原始数据")plt.plot(x_new,f2(x_new),label=u"临近点插值")plt.plot(x_new,f7(x_new),label=u"前点插值")plt.plot(x_new,f8(x_new),label=u"后点线性插值")plt.legend()plt.subplot(222)plt.plot(x,y,"o",label=u"原始数据")plt.plot(x_new,f1(x_new),label=u"线性插值")plt.plot(x_new,f3(x_new),label=u"零阶样条插值")plt.plot(x_new,f4(x_new),label=u"一阶样条插值")plt.legend()plt.subplot(223)plt.plot(x,y,"o",label=u"原始数据")plt.plot(x_new,f1(x_new),label=u"线性插值")plt.plot(x_new,f5(x_new),label=u"三阶样条插值")plt.legend()plt.subplot(224)plt.plot(x,y,"o",label=u"原始数据")plt.plot(x_new,f1(x_new),label=u"线性插值")plt.plot(x_new,f6(x_new),label=u"五阶样条插值")plt.legend()plt.show()
不同的插值方法画在一起，对比之下效果会比较明显：
4.1.2二维插值
二维数据，通常总是对应着一个网格，比如，经纬度网格。如果插值对象只有一个二维数组，那么我们可以用数组的行列号来构造网格。
importnumpyasnpfromscipyimportinterpolateimportmatplotlib.pyplotaspltplt.rcParams['font.sans-serif']=['FangSong']plt.rcParams['axes.unicode_minus']=Falsey,x=np.mgrid[-2:2:20j,-3:3:30j]#30x20=600z=x*np.exp(-x**2-y**2)y_new,x_new=np.mgrid[-2:2:80j,-3:3:120j]#120x80=9600f1=interpolate.interp2d(x[0,:],y[:,0],z,kind='linear')#线性插值f2=interpolate.interp2d(x[0,:],y[:,0],z,kind='cubic')#三阶样条f3=interpolate.interp2d(x[0,:],y[:,0],z,kind='quintic')#五阶样条z1=f1(x_new[0,:],y_new[:,0])z2=f2(x_new[0,:],y_new[:,0])z3=f3(x_new[0,:],y_new[:,0])plt.subplot(221)plt.pcolor(x,y,z,cmap=plt.cm.hsv)plt.colorbar()plt.axis('equal')plt.subplot(222)plt.pcolor(x_new,y_new,z1,cmap=plt.cm.hsv)plt.colorbar()plt.axis('equal')plt.subplot(223)plt.pcolor(x_new,y_new,z2,cmap=plt.cm.hsv)plt.colorbar()plt.axis('equal')plt.subplot(224)plt.pcolor(x_new,y_new,z3,cmap=plt.cm.hsv)plt.colorbar()plt.axis('equal')plt.show()
原始数据、线型插值数据、三阶插值数据、五阶插值数据的效果对比如下：
4.2拟合
在工作中，我们常常需要在图中描绘某些实际数据观察的同时，使用一个曲线来拟合这些实际数据。所谓拟合，就是找出符合数据变化趋势的曲线方程，进而对变化趋势做出预测。
4.2.1使用numpy.polyfit拟合
numpy.polyfit()实现了最小二乘法，其功能是返回指定次数的多项式参数，这组参数使得多项式和样本数据的误差为最小。下面的代码，虚拟了谷神星的一段观测数据，籍此使用最小二乘法实现多项式拟合，进而推测出谷神星未来的运行轨迹。最后和虚拟的运行轨道方程比较。
#coding:utf-8importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltplt.rcParams['font.sans-serif']=['FangSong']plt.rcParams['axes.unicode_minus']=Falsedeff(t):"""谷神星虚拟的运行轨道方程。我们假装不知道，仅用来验证预测结果是否准确"""t=t/7.5-1return((t**2-1)**3+0.5)*np.sin(2*t)t=np.linspace(0,20,201)#用于绘制实际的运行轨迹线_x=np.linspace(0,15,16)#观测数据时间序列_y=f(_x)#观测数据位置序列x=np.linspace(15,20,6)#待预测的时间序列loss_list=list()foriinrange(2,16):#从2次到15次多项式，逐一计算误差args=np.polyfit(_x,_y,i)#用最小二乘法找到最佳的一组系数g=np.poly1d(args)#用这组系数生成方程g(x)loss=np.sum(np.square(g(_x)-_y))#计算i次多项式拟合的误差loss_list.append(loss)print(i,loss)k=loss_list.index(min(loss_list))+2args=np.polyfit(_x,_y,k)g=np.poly1d(args)plt.figure('demo',facecolor='#eaeaea')plt.plot(_x,_y,c='r',ls='',marker='o',label=u'观测数据')plt.plot(_x,g(_x),c='b',ls='-',label=u'%d次多项式拟合，误差%0.8f'%(k,loss_list[k-2]))plt.plot(x,g(x),c='r',ls=':',label=u'预测轨迹')plt.plot(t,f(t),c='#60f0f0',ls='--',label=u'实际运行轨迹')plt.legend(loc='lowerleft')plt.show()
将虚拟的运行轨道、虚拟的观测数据、拟合曲线、预测曲线绘制在一起，效果如下：
4.2.2使用scipy.optimize.optimize.curve_fit拟合
不管曲线实际是什么样的，多项式拟合总是以一个有限次的多项式去逼近数据样本。还有一种拟合，就是我们知道曲线的标准方程，但有些系数或参数不确定，这样的拟合，也是要找到最佳系数或参数。scipy提供的拟合，需要先确定带参数的曲线方程，然后由scipy求解方程，返回曲线参数。
>>>importnumpyasnp>>>importmatplotlib.pyplotasplt>>>fromscipyimportoptimize>>>x=np.arange(1,13,1)>>>y=np.array([17,19,21,28,33,38,37,37,31,23,19,18])>>>plt.plot(x,y)[<matplotlib.lines.Line2Dobjectat0x04799D10>]>>>plt.show()
可以看出，曲线近似正弦函数。构建函数y=asin(xpi/6+b)+c，使用scipy的optimize.curve_fit函数求出a、b、c的值：
>>>deffmax(x,a,b,c):returna*np.sin(x*np.pi/6+b)+c>>>fita,fitb=optimize.curve_fit(fmax,x,y,[1,1,1])>>>printfita[10.93254951-1.949609626.75]>>>xn=np.arange(1,13,0.1)>>>plt.plot(x,y)[<matplotlib.lines.Line2Dobjectat0x04B160B0>]>>>plt.plot(xn,fmax(xn,fita[0],fita[1],fita[2]))[<matplotlib.lines.Line2Dobjectat0x04B16510>]>>>plt.show()
4.3求解非线性方程（组）
在数学建模中，需要对一些稀奇古怪的方程（组）求解，Matlab自然是首选，但Matlab不是免费的，scipy则为我们提供了免费的午餐！scipy.optimize库中的fsolve函数可以用来对非线性方程（组）进行求解。它的基本调用形式如下：
fsolve(func,x0)
func(x)是计算方程组误差的函数，它的参数x是一个矢量，表示方程组的各个未知数的一组可能解，func返回将x代入方程组之后得到的误差；x0为未知数矢量的初始值。
我们先来求解一个简单的方程：$\sin(x)-\cos(x)=0.2$
>>>fromscipy.optimizeimportfsolve>>>importnumpyasnp>>>deff(A):x=float(A[0])return[np.sin(x)-np.cos(x)-0.2]>>>result=fsolve(f,[1])array([0.92729522])>>>printresult[0.92729522]>>>printf(result)[2.7977428707082197e-09]
哈哈，易如反掌！再来一个方程组：
4x2−2sin(yz)=04x^2-2\sin(yz)=04x2−2sin(yz)=05y+3=05y+3=05y+3=0yz−1.5=0yz-1.5=0yz−1.5=0
>>>fromscipy.optimizeimportfsolve>>>importnumpyasnp>>>deff(A):x=float(A[0])y=float(A[1])z=float(A[2])return[4*x*x-2*np.sin(y*z),5*y+3,y*z-1.5]>>>result=fsolve(f,[1,1,1])>>>printresult[-0.70622057-0.6-2.5]>>>printf(result)[-9.1260332624187868e-14,0.0,5.329070518200751e-15]4.4数值积分
数值积分是对定积分的数值求解，例如可以利用数值积分计算某个形状的面积。我们知道，半径为1的圆的方程可写成：
x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1
下面让我们来考虑一下如何计算半径为1的半圆的面积，根据圆的面积公式，其面积应该等于PI/2。单位半圆曲线可以用下面的函数表示：
y=1−x2y=\sqrt{1-x^2}y=1−x2
我们先定义一个计算根据x计算y的函数：
>>>defhalf_circle(x):return(1-x**2)**0.54.4.1经典微分法
下面的程序使用经典的分小矩形计算面积总和的方式，计算出单位半圆的面积：
>>>N=10000>>>x=np.linspace(-1,1,N)>>>dx=2.0/N>>>y=half_circle(x)>>>dx*np.sum(y[:-1]+y[1:])#面积的两倍3.14127516799889374.4.2使用定积分求解函数
如果我们调用scipy.integrate库中的quad函数的话，将会得到非常精确的结果：
>>>fromscipyimportintegrate>>>pi_half,err=integrate.quad(half_circle,-1,1)>>>pi_half*23.14159265358979844.5图像处理
在scipy.misc模块中，有一个函数可以载入Lena图像——这副图像是被用作图像处理的经典示范图像。我只是简单展示一下在该图像上的几个操作。
载入Lena图像，并显示灰度图像应用中值滤波扫描信号的每一个数据点，并替换为相邻数据点的中值旋转图像应用Prewitt滤波器（基于图像强度的梯度计算）>>>fromscipyimportmisc>>>fromscipyimportndimage>>>img=misc.lena().astype(np.float32)>>>plt.subplot(221)>>>plt.title('OriginalImage')>>>plt.imshow(img,cmap=plt.cm.gray)>>>plt.subplot(222)>>>plt.title('MedianFilter')>>>filtered=ndimage.median_filter(img,size=(42,42))>>>plt.imshow(filtered,cmap=plt.cm.gray)>>>plt.subplot(223)>>>plt.title('Rotated')>>>rotated=ndimage.rotate(img,90)>>>plt.imshow(rotated,cmap=plt.cm.gray)>>>plt.subplot(224)>>>plt.title('PrewittFilter')>>>filtered=ndimage.prewitt(img)>>>plt.imshow(filtered,cmap=plt.cm.gray)>>>plt.show()
5.后记
这篇博文自2016年9月初动笔，断断续续写了5个多月。延宕这么久，除了自身懒惰的原因外，主要是因为MSN这个主题涉及的内容太过繁杂，又极其晦涩，无论怎么努力，总怕挂一漏万、贻笑大方。
现在好了，终于写完了。倘若哪位看官发现了谬误，请自行修改，顺便通知我一声；若因此文受益而想约饭、约酒，请发邮件至：xufive@gmail.com
又及：近期有很多朋友通过私信咨询有关python学习问题。为便于交流，我创建了一个名为“python程序员进阶之路”的微信群，面向python初学者，为大家提供一个交流学习的平台。我也会尽我所能在群里为大家提供技术支持。欢迎有兴趣的同学扫我微信码，我带你入队。
