可能很多人在大一的时候，就已经接触了递归了，不过，我敢保证很多人初学者刚开始接触递归的时候，是一脸懵逼的，我当初也是，给我的感觉就是，递归太神奇了！
可能也有一大部分人知道递归，也能看的懂递归，但在实际做题过程中，却不知道怎么使用，有时候还容易被递归给搞晕。也有好几个人来问我有没有快速掌握递归的捷径啊。说实话，哪来那么多捷径啊，不过，我还是想写一篇文章，谈谈我的一些经验，或许，能够给你带来一些帮助。
为了兼顾初学者，我会从最简单的题讲起！
递归的三大要素
第一要素：明确你这个函数想要干什么
对于递归，我觉得很重要的一个事就是，这个函数的功能是什么，他要完成什么样的一件事，而这个，是完全由你自己来定义的。也就是说，我们先不管函数里面的代码什么，而是要先明白，你这个函数是要用来干什么。
例如，我定义了一个函数
//算n的阶乘(假设n不为0)intf(intn){}
这个函数的功能是算n的阶乘。好了，我们已经定义了一个函数，并且定义了它的功能是什么，接下来我们看第二要素。
第二要素：寻找递归结束条件
所谓递归，就是会在函数内部代码中，调用这个函数本身，所以，我们必须要找出递归的结束条件，不然的话，会一直调用自己，进入无底洞。也就是说，我们需要找出当参数为啥时，递归结束，之后直接把结果返回，请注意，这个时候我们必须能根据这个参数的值，能够直接知道函数的结果是什么。
例如，上面那个例子，当n=1时，那你应该能够直接知道f(n)是啥吧？此时，f(1)=1。完善我们函数内部的代码，把第二要素加进代码里面，如下
//算n的阶乘(假设n不为0)intf(intn){if(n==1){return1;}}
有人可能会说，当n=2时，那我们可以直接知道f(n)等于多少啊，那我可以把n=2作为递归的结束条件吗？
当然可以，只要你觉得参数是什么时，你能够直接知道函数的结果，那么你就可以把这个参数作为结束的条件，所以下面这段代码也是可以的。
//算n的阶乘(假设n>=2)intf(intn){if(n==2){return2;}}
注意我代码里面写的注释，假设n>=2，因为如果n=1时，会被漏掉，当n<=2时，f(n)=n，所以为了更加严谨，我们可以写成这样：
//算n的阶乘(假设n不为0)intf(intn){if(n<=2){returnn;}}
第三要素：找出函数的等价关系式
第三要素就是，我们要不断缩小参数的范围，缩小之后，我们可以通过一些辅助的变量或者操作，使原函数的结果不变。
例如，f(n)这个范围比较大，我们可以让f(n)=n*f(n-1)。这样，范围就由n变成了n-1了，范围变小了，并且为了原函数f(n)不变，我们需要让f(n-1)乘以n。
说白了，就是要找到原函数的一个等价关系式，f(n)的等价关系式为n*f(n-1)，即
f(n)=n*f(n-1)。
这个等价关系式的寻找，可以说是最难的一步了，如果你不大懂也没关系，因为你不是天才，你还需要多接触几道题，我会在接下来的文章中，找10道递归题，让你慢慢熟悉起来。
找出了这个等价，继续完善我们的代码，我们把这个等价式写进函数里。如下：
//算n的阶乘(假设n不为0)intf(intn){if(n<=2){returnn;}//把f(n)的等价操作写进去returnf(n-1)*n;}
至此，递归三要素已经都写进代码里了，所以这个f(n)功能的内部代码我们已经写好了。
这就是递归最重要的三要素，每次做递归的时候，你就强迫自己试着去寻找这三个要素。
还是不懂？没关系，我再按照这个模式讲一些题。
有些有点小基础的可能觉得我写的太简单了，没耐心看？少侠，请继续看，我下面还会讲如何优化递归。当然，大佬请随意，可以直接拉动最下面留言给我一些建议，万分感谢！
案例1：斐波那契数列
斐波那契数列的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34…，即第一项f(1)=1,第二项f(2)=1…,第n项目为f(n)=f(n-1)+f(n-2)。求第n项的值是多少。
1、第一递归函数功能
假设f(n)的功能是求第n项的值，代码如下：
intf(intn){}
2、找出递归结束的条件
显然，当n=1或者n=2,我们可以轻易着知道结果f(1)=f(2)=n。所以递归结束条件可以为n<=2。代码如下：
intf(intn){if(n<=2){returnn;}}
第三要素：找出函数的等价关系式
题目已经把等价关系式给我们了，所以我们很容易就能够知道f(n)=f(n-1)+f(n-2)。我说过，等价关系式是最难找的一个，而这个题目却把关系式给我们了，这也太容易，好吧，我这是为了兼顾几乎零基础的读者。
所以最终代码如下：
intf(intn){//1.先写递归结束条件if(n<=2){returnn;}//2.接着写等价关系式returnf(n-1)+f(n-2);}
搞定，是不是很简单？
零基础的可能还是不大懂，没关系，之后慢慢按照这个模式练习！好吧，有大佬可能在吐槽太简单了。
案例2：小青蛙跳台阶
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
1、第一递归函数功能
假设f(n)的功能是求青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法，代码如下：
intf(intn){}
2、找出递归结束的条件
我说了，求递归结束的条件，你直接把n压缩到很小很小就行了，因为n越小，我们就越容易直观着算出f(n)的多少，所以当n=1时，你知道f(1)为多少吧？够直观吧？即f(1)=1。代码如下：
intf(intn){if(n==1){return1;}}
第三要素：找出函数的等价关系式
每次跳的时候，小青蛙可以跳一个台阶，也可以跳两个台阶，也就是说，每次跳的时候，小青蛙有两种跳法。
第一种跳法：第一次我跳了一个台阶，那么还剩下n-1个台阶还没跳，剩下的n-1个台阶的跳法有f(n-1)种。
第二种跳法：第一次跳了两个台阶，那么还剩下n-2个台阶还没，剩下的n-2个台阶的跳法有f(n-2)种。
所以，小青蛙的全部跳法就是这两种跳法之和了，即f(n)=f(n-1)+f(n-2)。至此，等价关系式就求出来了。于是写出代码：
intf(intn){if(n==1){return1;}ruturnf(n-1)+f(n-2);}
大家觉得上面的代码对不对？
答是不大对，当n=2时，显然会有f(2)=f(1)+f(0)。我们知道，f(0)=0，按道理是递归结束，不用继续往下调用的，但我们上面的代码逻辑中，会继续调用f(0)=f(-1)+f(-2)。这会导致无限调用，进入死循环。
这也是我要和你们说的，关于递归结束条件是否够严谨问题，有很多人在使用递归的时候，由于结束条件不够严谨，导致出现死循环。也就是说，当我们在第二步找出了一个递归结束条件的时候，可以把结束条件写进代码，然后进行第三步，但是请注意，当我们第三步找出等价函数之后，还得再返回去第二步，根据第三步函数的调用关系，会不会出现一些漏掉的结束条件。就像上面，f(n-2)这个函数的调用，有可能出现f(0)的情况，导致死循环，所以我们把它补上。代码如下：
intf(intn){//f(0)=0,f(1)=1，f(2)=2等价于n<=2时，f(n)=n。if(n<=2){returnn;}ruturnf(n-1)+f(n-2);}
有人可能会说，我不知道我的结束条件有没有漏掉怎么办？别怕，多练几道就知道怎么办了。
看到这里有人可能要吐槽了，这两道题也太容易了吧？？能不能被这么敷衍。少侠，别走啊，下面出道难一点的。
下面其实也不难了，就比上面的题目难一点点而已，特别是第三步等价的寻找。
案例3：反转单链表。
反转单链表。例如链表为：1->2->3->4。反转后为4->3->2->1
链表的节点定义如下：
classNode{intdate;Nodenext;}
虽然是Java语言，但就算你没学过Java，我觉得也是影响不大，能看懂。
还是老套路，三要素一步一步来。
1、定义递归函数功能
假设函数reverseList(head)的功能是反转但链表，其中head表示链表的头节点。代码如下：
NodereverseList(Nodehead){}
2.寻找结束条件
当链表只有一个节点，或者如果是空表的话，你应该知道结果吧？直接啥也不用干，直接把head返回呗。代码如下：
NodereverseList(Nodehead){if(head==null||head.next==null){returnhead;}}
3.寻找等价关系
这个的等价关系不像n是个数值那样，比较容易寻找。但是我告诉你，它的等价条件中，一定是范围不断在缩小，对于链表来说，就是链表的节点个数不断在变小，所以，如果你实在找不出，你就先对reverseList(head.next)递归走一遍，看看结果是咋样的。例如链表节点如下
我们就缩小范围，先对2->3->4递归下试试，即代码如下
NodereverseList(Nodehead){if(head==null||head.next==null){returnhead;}//我们先把递归的结果保存起来，先不返回，因为我们还不清楚这样递归是对还是错。，NodenewList=reverseList(head.next);}
我们在第一步的时候，就已经定义了reverseList函数的功能可以把一个单链表反转，所以，我们对2->3->4反转之后的结果应该是这样：
我们把2->3->4递归成4->3->2。不过，1这个节点我们并没有去碰它，所以1的next节点仍然是连接这2。
接下来呢？该怎么办？
其实，接下来就简单了，我们接下来只需要把节点2的next指向1，然后把1的next指向null,不就行了？，即通过改变newList链表之后的结果如下：
也就是说，reverseList(head)等价于**reverseList(head.next)**+改变一下1，2两个节点的指向。好了，等价关系找出来了，代码如下(有详细的解释)：
//用递归的方法反转链表publicstaticNodereverseList2(Nodehead){//1.递归结束条件if(head==null||head.next==null){returnhead;}//递归反转子链表NodenewList=reverseList2(head.next);//改变1，2节点的指向。//通过head.next获取节点2Nodet1=head.next;//让2的next指向2t1.next=head;//1的next指向null.head.next=null;//把调整之后的链表返回。returnnewList;}
这道题的第三步看的很懵？正常，因为你做的太少了，可能没有想到还可以这样，多练几道就可以了。但是，我希望通过这三道题，给了你以后用递归做题时的一些思路，你以后做题可以按照我这个模式去想。通过一篇文章是不可能掌握递归的，还得多练，我相信，只要你认真看我的这篇文章，多看几次，一定能找到一些思路！！
我已经强调了好多次，多练几道了，所以呢，后面我也会找大概10道递归的练习题供大家学习，不过，我找的可能会有一定的难度。不会像今天这样，比较简单，所以呢，初学者还得自己多去找题练练，相信我，掌握了递归，你的思维抽象能力会更强！
接下来我讲讲有关递归的一些优化。
有关递归的一些优化思路
1.考虑是否重复计算
告诉你吧，如果你使用递归的时候不进行优化，是有非常非常非常多的子问题被重复计算的。
啥是子问题？f(n-1),f(n-2)…就是f(n)的子问题了。
例如对于案例2那道题，f(n)=f(n-1)+f(n-2)。递归调用的状态图如下：
看到没有，递归计算的时候，重复计算了两次f(5)，五次f(4)。。。。这是非常恐怖的，n越大，重复计算的就越多，所以我们必须进行优化。
如何优化？一般我们可以把我们计算的结果保证起来，例如把f(4)的计算结果保证起来，当再次要计算f(4)的时候，我们先判断一下，之前是否计算过，如果计算过，直接把f(4)的结果取出来就可以了，没有计算过的话，再递归计算。
用什么保存呢？可以用数组或者HashMap保存，我们用数组来保存把，把n作为我们的数组下标，f(n)作为值，例如arr[n]=f(n)。f(n)还没有计算过的时候，我们让arr[n]等于一个特殊值，例如arr[n]=-1。
当我们要判断的时候，如果arr[n]=-1，则证明f(n)没有计算过，否则，f(n)就已经计算过了，且f(n)=arr[n]。直接把值取出来就行了。代码如下：
//我们实现假定arr数组已经初始化好的了。intf(intn){if(n<=1){returnn;}//先判断有没计算过if(arr[n]!=-1){//计算过，直接返回returnarr[n];}else{//没有计算过，递归计算,并且把结果保存到arr数组里arr[n]=f(n-1)+f(n-1);reutrnarr[n];}}
也就是说，使用递归的时候，必要须要考虑有没有重复计算，如果重复计算了，一定要把计算过的状态保存起来。
2.考虑是否可以自底向上
对于递归的问题，我们一般都是从上往下递归的，直到递归到最底，再一层一层着把值返回。
不过，有时候当n比较大的时候，例如当n=10000时，那么必须要往下递归10000层直到n<=1才将结果慢慢返回，如果n太大的话，可能栈空间会不够用。
对于这种情况，其实我们是可以考虑自底向上的做法的。例如我知道
f(1)=1;
f(2)=2;
那么我们就可以推出f(3)=f(2)+f(1)=3。从而可以推出f(4),f(5)等直到f(n)。因此，我们可以考虑使用自底向上的方法来取代递归，代码如下：
publicintf(intn){if(n<=2)returnn;intf1=1;intf2=2;intsum=0;for(inti=3;i<=n;i++){sum=f1+f2;f1=f2;f2=sum;}returnsum;}
这种方法，其实也被称之为递推。
最后总结
其实，递归不一定总是从上往下，也是有很多是从下往上的，例如n=1开始，一直递归到n=1000，例如一些排序组合。对于这种从下往上的，也是有对应的优化技巧，不过，我就先不写了，后面再慢慢写。这篇文章写了很久了，脖子有点受不了了，，，，颈椎病？害怕。。。。
说实话，对于递归这种比较抽象的思想，要把他讲明白，特别是讲给初学者听，还是挺难的，这也是我这篇文章用了很长时间的原因，不过，只要能让你们看完，有所收获，我觉得值得！有些人可能觉得讲的有点简单，没事，我后面会找一些不怎么简单的题。最后如果觉得不错，还请给我转发or点赞一波！
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